MATRIKS
MAKALAH MATEMATIKA
Di susun untuk memenui tugas UAS Ganjil mata pelajaran
mata pelajaran Matematika kelas XI
Guru Mata pelajaran:
Subianto
Disusun oleh :
Nama : KHISBUL JIHAD AL HAQQOH
Nomor UAS: 029
SMK DARUL JANNAH AL-MA’WA
TUNGGUL PACIRAN LAMONGAN
2014
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum
Warohmatullahi Wabarokatuh
Segala puji hanyalah milik Allah SWT, Dzad yang telah menjadikan sebab untuk segala perkara, yang mengandung segala
hikmah dan keterangan kepada hamba-Nya. Yang mengutus Muhammad sebagai
rasul-Nya untuk membawa agama yang dan yang haq.
Penulis
menyadari bahwa penulisan dan pembuatan Makalah Fisika tentang Progam Linier.
ini tak lepas dari peran dahsyat orang-orang yang membantu dalam proses
pembuatannya, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Pengasuh Pondok Pesantren Darul Jannah Al-ma’wa Bapak Kyai Hasan Arif
M.Pd.I
2. Kepala Sekola SMK Darul Janna
Al-Ma’wa Bapak Bambang Catur Basuki S.H, S.Pd. M.MPd.
3. Guru Mata Pelajaran Matematika Bapak Subianto
Penulis sadar
bahwa makalah ini masih jauh dari “Kesempurnaan”, sehingga masukan dan
saran sangat penulis harapkan sehingga penulis termotivasi agar dapat lebih
baik lagi dimasa yang akan datang. Sekali lagi penulis ucapkan terima kasih
kepada seluruh pihak-pihak yang mungkin tidak tercantum yang telah banyak
membantu dalam proses penyelesaian Makalah ini.
Sampai di sini,
Semoga Makalah ini dapat bermanfaat dan dipergunakan dengan sebaik-baiknya.
Wassalamualaikum Warohmatullahi
Wabarokatuh
Lamongan 9 Desember 2014
Penulis,
Khisbul JihadAl Haqqoh
DAFTAR ISI
Halaman Sampul ...........................................................................................
Kata Pengantar ..............................................................................................
Daftar Isi ........................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN
1.
Latar belakang Makalah ..................................................................
2.
Tujuan Makalah................................................................................
3.
Manfaat Makalah.............................................................................
BAB II PEMBAHASAN
Bab 2 Matriks
A. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya.
1.
Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya...............................
2.
Sifat Komutatif Penjumlahan Matriks................................................
3.
Sifat Asosiatif Penjumlahan Matriks.................................................
B. Pengurangan Dua Matriks.
C. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan
Matriks.
D. Operasi Perkalian Dua Matriks dan
Sifat-sifatnya.
a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi
Perkalian Matriks............................
Uji Kompetensi 2.1
E. Determinan Dan Invers Matriks
1.
Determinan Matriks..............................................................................
2.
Sifat-Sifat Determinan...........................................................................
3.
Invers Matriks.......................................................................................
4.
Metode Kofaktor...................................................................................
5.
Sifat-Sifat Invers Matriks.......................................................................
Uji Kompetensi 2.2
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan .................................................................................
B.
Kesan...........................................................................................
C. Saran ...........................................................................................
BAB I PENDAHULUAN
A.Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita
sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata
merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan
matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan.
Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali
memuat lebih dari dua persamaan dan
beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan
antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model
ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau
ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan. Matriks, pada dasarnya
merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan
tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat
analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan.
Pada awalnya matrik ditemukan
dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris
yang bernama Arthur Cayley yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti
persamaan linier dan transormasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap
sebagai sebuah permainan karena matrik
dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun ), matrik digunakan sebagai kuantum
dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam
berbagai bidang.
B.rumusan masalahBerdasarkan
uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut:
1. Apa pengertian atau de/inisi matriks serta
bagaimana pengertian determinan dan invers matriks?
2. Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan
permasalahan pada matriks?. C.Tujuan Pembahasan.
Berdasarkan uraian di atas
kami menemukan permasalahan sebagai berikut
1. Menjelaskan tentang pengertian dan definisi matriks, dan pengertian determinan dan invers matriks.
2. Menjelaskan tentang $enis-$enis operasi matriks dan
penyelesaian masalah pada matriks.
B. Tujuan
1. Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas UAS
Ganjil mata pelajaran matematika Matriks dab sifat-sifatnya , yang diberikan
oleh Bapak Subianto. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang
kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
2.Sebagai syarat yang harus dipenuhi untuk mendapat Nilai UAS Ganjil mata
pelajaran matematika.
C.Manfaat Penulisan
Adapun
manfaat dari penulisan makalah ini yaitu :
1. Dapat
dijadikan sebagai sumber informasi terkait pemahaman mengenai Matriks dan
sifak-sifatnya.
BAB II
PEMBAHASAN
1. Operasi Pada Matriks Dan Sifat-Sifatnya.
Saat duduk di kelas X, kamu telah mempelajari konsep matriks, jenis dan operasipada
matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita.
Pada kesempatan ini, kita akan
menganalisis sifat-sifat operasi pada matriks dan menggunakannya dalam
pemecahan masalah otentik. Amatilah dengan cermat berbagai informasi dan
masalah yang diajukan dan temukan sifat-sifat operasi matriks
di dalam langkah pemecahan masalah yang diajukan.
a. Operasi Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya
Mmam-2.1
Masalah
Dua orang bersaudara laki-laki dan perempuan membuka dua cabang
toko
kue di Padang dan di Medan. Toko kue itu menyediakan 2 jenis kue,
yaitu;
bronis dan bika ambon. Biaya untuk bahan ditangani oleh saudara
perempuan
dan biaya untuk chef ditangani oleh saudara laki-laki. Biaya untuk
tiap-tiap
kue seperti pada tabel berikut:
Alternatif Penyelesaian
Jika
kita misalkan matriks biaya di Padang, sebagai matriks A dan matriks biaya diMedan sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan
sebagai berikut.
Total biaya yang dikeluarkan kedua toko kue tersebut dapat diperoleh,
sebagai
berikut.
Total biaya bahan untuk bronis = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000
Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 +
1.700.000 = 2.900.000
Total biaya chef untuk bronis = 2.000.000 + 3.000.000
= 5.000.000
Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000
Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks
berikut:
Total biaya pada tabel di atas dapat
ditentukan dengan menjumlahkan matriks A dan
B.
Penjumlahan kedua matriks biaya di atas
dapat dioperasikan karena kedua matriks
biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 ×
2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda,
kita tidak dapat melakukan penjumlahan dua matriks.
B. Sifat Komutatif
Penjumlahan Matriksalah-2.3
Perhatikan
masalah di bawah ini!
Di suatu pasar terdapat dua orang pedagang mangga, jenis buah yang
dijual
antara lain mangga dengan kualitas tinggi dan mangga dengan
kualitas sedang. Pedagang satu memiliki 3 kg mangga kualitas tinggi dan 6 kg
mangga
kualitas sedang. Pedagang kedua memiliki 1 kg mangga dengan
kualitas
tinggi dan 8 kg mangga kualitas sedang. Keesokan harinya kedua
pedagangtersebut berbelanja untuk menambah persediaan mangganya. Pedagang satu
menambah 20 kg mangga berkualitas tinggi dan 15 mangga kualitas
sedang,
sedangkan pedagang kedua menambah 20 kg mangga kualitas tinggi dan
10
kg mangga kualitas sedang.
Berapakah persediaan mangga setiap
pedagang sekarang?
Alternatif penyelesaian
Pedagang satu dan pedagang
dua memiliki mangga kualitas tinggi dan sedang danpada hari berikutnya kedua
pedagang menambah persediaan mangga seperti tabel di
bawah ini:
Jika kita misalkan matriks persediaan
buah mangga sebelum penambahan sebagai
matriks A dan sesudah penambahan sebagai matriks B. Matriks A dan B
disajikan
sebagai
berikut.
Ingat kembali materi operasi pada
matriks yang sudah dipelajari. Dua matriks
dapat dijumlahkan apabila kedua matriks
tersebut memiliki ordo yang sama. Matriks
A
dan B memiliki
ordo yang sama, yaitu; matriks berordo 2 × 2.
Maka
jumlah keseluruhan persediaan mangga dapat diperoleh sebagai berikut.
Berdasarkan hasil operasi di atas dapat
disimpulkan (1) total persediaan mangga
Pedagang I adalah 23 kg mangga kualitas
tinggi dan 21 kg mangga kualitas sedang;
(2) total persediaan mangga Pedangang
II adalah 21 kg mangga kualitas tinggi dan
18
kg mangga kualitas sedang; (3) ternyata hasil penjumlahan matriks A + B
= B +
A.
Berdasarkan contoh di atas dapat
disimpulkan bahwa A +
B =
B +
A.Mari
kita buktikan secara umum bahwa operasi penjumlahan pada matriks memenuhi
sifat komutatif. Misalkan matriks A dan B
berordo n ×
k.
Elemen-elemen matrik A
dan
B adalah
bilangan real yang disajikan sebagai berikut.
Karena nilai aij dan bij untuk
setiap i dan
j adalah
bilangan real, maka nilai aij +
bij
sama dengan nilai bij + aij atau
aij +
bij =
bij +
aij.
Dengan demikian hasil penjumlahan
A + B
= B +
A.
C. Sifat Asosiatif
Penjumlahan Matrikslah-2.4
Pada suatu acara perlombaan masak pada acara 17 Agustus di SMA
yang
terdiri dari tiga sekolah, terdapat tiga peserta perwakilan dari
masing-masing
sekolah. Terdapat tiga orang anggota tim juri menilai dari setiap
hasil masakan
dari masing-masing sekolah, dengan nilai rentang nilai 6 sampai
10. Tabel
nilai tersebut adalah
Dari penyelesaian tersebut dapat
diketahui peringkat I adalah SMA III, Peringkat
kedua adalah SMA I, dan peringkat ketiga
adalah SMA II. Selanjutnya dapat
disimpulkan bahwa matriks I + (II + III) = (I + II) + III. Hal ini
dinamakan sifat asosiatif operasi penjumlahan pada matriks.
Berdasarkan contoh di atas dapat
disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks
2. Pengurangan Dua Matriks
Sebagai gambaran awal
mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita
cermati contoh masalah
berikut ini.
Masalah-2.5
Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan
penyusutan
mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10 % dari harga
perolehan
sebagai berikut:
Lengkapilah tabel
tersebut dengan menggunakan matriks!
Rumusan penjumlahan dua
matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks
A dengan matriks B.
Misalkan A dan
B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks
A dengan matriks B didefinisikan
sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks –B,
ditulis:
A-B=A+(-B).
Matriks –B merupakan
matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan
setiap unsur yang
bersesuaian dengan matriks B.
Dari pemahaman penyelesaian
Masalah-2.5 di atas, pengurangan dua matriks
dapat juga dilakukan dengan
mengurangkan langsung elemen-elemen yang seletak
dari kedua matriks
tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks,
yaitu :
3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan
Matriks
Dalam aljabar matriks,
bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena
itu perkalian real terhadap
matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.
Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua
matriks, A –
B =
A+
(–B),
(–B)
dalam
hal ini sebenarnya hasil kali bilangan
–1 dengan semua elemen matriks B. Artinya,
matriks (–B) dapat kita tulis sebagai :
–B = k.B, dengan k = –1.
Secara umum, perkalian skalar dengan
matriks dirumuskan sebagai berikut.
Misalkan A suatu matriks berordo m × n dengan elemen-elemen
aij dan k adalah
suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan matriks
A,
dinotasikan C =
k.A, bila matriks C berordo m × n dengan elemen-elemennya
ditentukan oleh :
cij = k.aij (untuk semua i dan j ).
4. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya
Ma P.T Melodi adalah sebuah perusahaan multinasional yang bergerak di
bidang penjualan alat-alat musik. Perusahaan
tersebut memiliki beberapa toko
penjulan di beberapa kota
besar di Indonesia. Persediaan alat-alat olah raga di
setiap toko disajikan pada
tabel berikut.
Setiap toko di masing-masing kota telah
berhasil menjual berbagai jenis alat
musik yang disajikan pada tabel
berikut.
Alternatif Penyelesaian
Misalkan P adalah
matriks yang menyatakan persediaan alat musik di setiap kota
dan matriks H adalah
matriks yang menyatakan harga untuk setiap jenis alat musik
serta T adalah
matriks yang menyatakan banyaknya barang yang telah berhasil dijual
di setiap kota. Matriks P,
H, dan T dapat ditulis sebagai berikut.
Berdasarkan hasil perhitungan di atas,
diperoleh nilai barang keseluruhan di
setiap toko di masing-masing kota
adalah
Berdiskusilah dengan temanmu, coba
tentukan nilai barang yang terjual di setiap
toko di kota. Dapat kita cermati dari
perkalian di atas, bahwa setiap elemen baris pada matriks C berkorespondensi
satu-satu dengan setiap elemen kolom pada
matriks D. Seandainya terdapat satu saja elemen baris ke-1
pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan elemen kolom ke-1
pada matriks D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat
dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua
matriks dapat dilakukan jika banyak
baris pada matriks C sama dengan banyak kolom
pada matriks D.
Banyak perkalian akan berhenti jika setiap
elemen baris ke-n pada
matriks C sudah dikalikan dengan setiap
elemen kolom ke-n pada matriks D.
Secara matematis, kita dapat menyatakan
perkalian dua matriks sebagai berikut.
Misalkan matriks Am×n
dan matriks Bn×p, matriks A dapat dikalikan dengan
matriks B
jika banyak baris matriks A sama dengan
banyak kolom B. Hasil perkalian matriks
A berordo m ×
n terhadap matriks B berordo n ×
p adalah suatu matriks berordo
m × p.
Proses menentukan elemen-elemen hasil perkalian dua matriks
dipaparkan
sebagai berikut.
Jika C
adalah matriks hasil perkalian matriks Am×n terhadap
matriks Bn×p,
dinotasikan C=A.B,
maka C berordo
m×p. Elemen-elemen matriks C pada baris ke-i
dan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan
elemen baris ke-i
dari matriks A terhadap elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan.
Dinotasikan cij=ai1.b1j+ai2.b2j+ai3.b3j+...+ain.bnj
A.
Sifat
Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks
Uji
Kompetensi 2.1
7. Seorang agen perjalanan menawarkan
paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I
terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat
wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan
4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8
kali makan. Paket III dengan 3 malam
menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1
makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per
malam, biaya pengangkutan ke tiap
tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di
restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00.
a) Dengan menggunakan perkalian
matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap
paket.
b) Paket mana yang menawarkan biaya
termurah?
8. Sebuah perusahaan angkutan
menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa
Timur. Perusahaan angkutan tersebut
mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif,
Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi
dengan kursi penumpang untuk kelas
umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah
kursi penumpang tiga jenis bus tersebut
disajikan
pada tabel di bawah ini.
Perusahaan telah mendaftar jumlah
penumpang yang mengikuti perjalanan wisata
ke
negara A,
seperti pada tabel berikut.
Berapa
banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?
BAB III PENUTUP
A.Kesimpulan
Kesimpulan :
Pada dasarnya dalam kehidupan
sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri
ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan
dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita
sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah
kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah
diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari
dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk
mencari hubungan antara variabel-variabelnya.
Adapun matriks sendiri merupakan susunan
elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom
dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks.
B. SARAN
Matematika merupakan salah
satu mata pelajaran yang paling tidak disukai oleh anak-anak. Kenyataan di
lapangan membuktikan cukupbanyak siswa yang tidak suka bahkan membenci mata
pelajaran matematika. Dalam benak mereka matematika merupakan mata pelajaran
yang sangat sulit untuk dimengerti bahkan membosankan.
Hal ini menjadi dilema bagi para
pendidik dan para ahli, karena matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk
sains dan teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. Apalagi
dalam memasuki abad ke -21 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan
IPTEK, pengetahuan siapdan kepiawaian berpikir logis yang dikembangakan dalam
pelajaranmatematika sangat diperlukan.
Dalam menghadapi era globalisasi yang
diiringi dengan perkembangan IPTEK yang sangat pesat, maka peningkatan
kualitas-kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi
keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Oleh sebab itu, upaya tersebut
mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh dan harus dirancang secara
sistematis dan seksama berdasarkan pemikiran yang matang. Wadah yang tepat bagi
upaya peningkatan kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
