I. PROGAM LINIER

PROGAM LINIER

MAKALAH MATEMATIKA

DI SUSUN UNTUK MEMENUI TUGAS UAS GANJIL MATA PELAJARAN 

   MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS XI

Guru Mata pelajaran:

SUBIANTO

 

Disusun oleh :

               Nama          : KHISBUL JIHAD AL HAQQOH

          Nomor UAS : 029

SMK DARUL JANNAH AL-MA’WA

TUNGGUL PACIRAN LAMONGAN

2014

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

Segala puji hanyalah milik Allah SWT, Dzad yang telah menjadikan sebab untuk segala perkara, yang mengandung segala hikmah dan keterangan kepada hamba-Nya. Yang mengutus Muhammad sebagai rasul-Nya untuk membawa agama yang dan yang haq.

Penulis menyadari bahwa penulisan dan pembuatan Makalah Fisika tentang Progam Linier. ini tak lepas dari peran dahsyat orang-orang yang membantu dalam proses pembuatannya, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1.    Pengasuh Pondok Pesantren Darul Jannah Al-ma’wa Bapak Kyai Hasan Arif M.Pd.I

2.     Kepala Sekola SMK Darul Janna Al-Ma’wa Bapak Bambang Catur Basuki S.H, S.Pd. M.MPd.

3.    Guru Mata Pelajaran Matematika Bapak Subianto

Penulis sadar bahwa makalah ini masih jauh dari “Kesempurnaan”, sehingga masukan dan saran sangat penulis harapkan sehingga penulis termotivasi agar dapat lebih baik lagi dimasa yang akan datang. Sekali lagi penulis ucapkan terima kasih kepada seluruh pihak-pihak yang mungkin tidak tercantum yang telah banyak membantu dalam proses penyelesaian Makalah ini.

Sampai di sini, Semoga Makalah ini dapat bermanfaat dan dipergunakan dengan sebaik-baiknya.

           Wassalamualaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

  

Lamongan 9 Desember 2014

                                                                                                        Penulis,

Khisbul Jihad Al Haqqoh

DAFTAR ISI

Halaman Sampul ........................................................................................... I

Kata Pengantar .............................................................................................. II

Daftar Isi ........................................................................................................ III

BAB I PENDAHULUAN

1.    Latar belakang Makalah .................................................................. 1

2.    Tujuan Makalah................................................................................ 1

3.    Manfaat Makalah............................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN................................................................................2

BAB 1 Progam Liner.......................................................................................2

1. Model Matematika ......................................................................................2

2. Program Linear dengan Metode Grafik.......................................................11

    Uji Kompetensi 1. .......................................................................................14

Daerah Bersih dan Garis Selidik................................................................17

Uji Kompetensi 1.2 ...................................................................................

BAB III PENUTUP.........................................................................................

A.    Kesimpulan ................................................................................. 24

B.     Kesan........................................................................................... 24

C.    Saran ........................................................................................... 24

BAB I

PENDAHULUAN

A.           Latar Belakang

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk. Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di sekolah, tidak sedikit siswa yang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang fungsi linear sehingga kami ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Guru kepada kelompok kami yaitu pembuatan makalah tentang FUNGSILINEAR.

 B. Tujuan

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas UAS Ganjil mata pelajaran matematika Progam Linear, yang diberikan oleh Bapak Subianto. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini. Sebagai syarat yang harus dipenuhi untuk mendapat

C.Manfaat Penulisan

 Adapun manfaat dari penulisan makalah ini yaitu :

1.        Dapat dijadikan sebagai sumber informasi terkait pemahaman mengenai Progam Linier

2.       Dapat dijadikan sebagai proses pembelajaran di dalam penulisan makalah.

3.   Dapat di jadikan unjian semester bagi penulis untuk memenuhi tugas UAS Mata Pelajaran Matematika Kelas XI.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Model Matematika

Pada subbab ini, kita akan mempelajari bagaimana masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan matematika. Namun, sangat dibutuhkankemampuan berpikir logis untuk mengubah masalah sehari-hari ke bentuk matematika.

Mari kita perhatikan masalah berikut ini.

Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat

ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya

petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa

bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata

tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya

1550 jam/orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan

air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk

menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram

pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam/orang tenaga dan 3

kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi

per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal

padi adalah Rp 40.000 sedang dari 1 kuintal jagung Rp 30.000, dan dianggap

bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual.

Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang

memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah harus

ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung.

Perumusan Masalah

Mari kita mengkaji jika hasil padi dan jagung dinyatakan per kuintal.

Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50

kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga,

untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar.

Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini!

Tabel 1.1: Alokasi setiap sumber yang tersedia

Sumber	Padi (per kuintal)	Jagung (per kuintal	Batas sumber	Bantuan
tanah	0,02	0,05	10	Hektar
Tenaga	10	8	1550	Jam-orang
pupuk	5	3	460	Kilogram
pendapatan	40	30		Ribuan

Catatan:

1. Satuan jam-orang (man-hour) adalah banyak orang kali banyak jam bekerja.

Kita anggap (asumsi) bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu

yang relatif sama.

2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika

ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier

untuk mengalirkan air ke sawah.

3.Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.

Alternatif Penyelesaian

Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak (kuintal) padi dan

jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan

kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber (luas tanah,

tenaga dan pupuk).

Misalkan :

x banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani

y banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani.

Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasanketerbatasan

berikut:

a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk y kuintal padi dan untuk x kuintal

jagung tidak boleh melebihi 10 hektar.

b. Untuk y ketersediaan waktu (jam-orang), tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia

waktu tidak lebih dari 1550 jam-orang.

c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram

d. Dengan semua keterbatasan (kendala) (a), (b), dan (c), kelompok tani ingin

mengharapkan pendapatan Rp40.000,00 dan Rp30.000,00 untuk setiap kuintal

padi dan jagung.

 Dari uraian keterbatasan atau kendala pada bagian (a), (b), dan (c) dan tujuan

pada bagian (d), bersama temanmu, coba rumuskan model matematika yang

mendeskripsikan kondisi yang dihadapi kelompok tani tersebut.

Melihat uraian di atas, masalah kelompok tani transmigran dapat diubah bentuk

menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pemecahan sistem tersebut

dapat dikerjakan dengan metode grafik (dibahas pada subbab berikutnya). Hal ini

merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah

kamu pelajari pada Kelas X.

Adapun sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sebagai berikut:

 

Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif,

kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu:

Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok tani tentu hendak memaksimumkan

pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturutturut

Rp 40.000 dan Rp 30.000. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan/sasaran;

sebut Z(x, y).

Secara matematik dituliskan:

Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah). (3)

Untuk memecahkan masalah banyak kuintal padi dan jagung yang akan dihasilkan

kelompok tani tersebut, akan kita kaji pada subbab garis selidik.

Selain dua variabel, masalah program linear dalam kehidupan sehari-hari banyak

juga yang memuat tiga variabel atau lebih. Seperti masalah yang ditemui seorang pengrajin perabot rumah tangga berikut ini.

Masalah-1.2

Pak Toni, seorang pengrajin perabot rumah tangga mendapat pesanan

membuat rak buku yang kerangkanya terbuat dari besi siku lubang yang

dipotong-potong kemudian dirangkai dengan sekrup. Untuk membuat rak itu,

diperlukan potongan besi sepanjang 250 cm sebanyak 8 potong, sepanjang 70

cm sebanyak 12 potong, dan sepanjang 37,5 cm sebanyak 20 potong. Ternyata

batangan besi siku lubang yang dijual di toko mempunyai panjang standar 3

m, sehingga Pak Toni harus berpikir, cukup berapa potong besi batangan

yang akan dibeli dan bagaimana caranya mengatur pemotongannya supaya

panjang total sisa pemotongan menjadi minimal (dengan demikian kerugian

Pak Toni minimal). Dapatkah kamu membantu Pak Toni untuk memotong besi

batangan tersebut?

Alternatif Penyelesaian

Dari persoalan di atas, ada berapa jenis pola potongan besi batangan yang

diperlukan Pak Toni? Mari perhatikan gambar berikut ini.

 Dari dua pola di atas, tentunya kamu bisa menampilkan pola yang lain. Temukan pola pemotongan yang lain, kemudian bandingkan hasil teman-temanmu.

 Setelah lengkap, tuliskan pola-pola pemotongan besi tersebut seperti pada

tabel berikut ini:

 Dengan menemukan semua pola pemotongan besi secara lengkap, jelaskan makna setiap pola pemotongan besi tersebut.

Dengan demikian terdapat 6 peubah yang muncul yaitu, x1, x2, x3, x4, x5, dengan

x1: banyak batang besi yang dipotong menurut kombinasi pola ke-i. Oleh karena itu,kita temukan rumusan berikut ini:

merupakan fungsi sisa pemotongan dari semua pola pemotongan besi. Fungsi Z merupakan tujuan pola pemotongan besi batangan yang dibutuhkan Pak Toni.

Sedangkan apa yang dinyatakan pada bagian (4) merupakan kendala atau keterbatasan untuk mencapai tujuan tersebut.

Cermati tanda yang digunakan pada bagian (4) di atas, merupakan salah satu karakteristik yang digunakan pada kajian materi program linear.

Masa1.3Suatu perusahaan kertas memiliki dua pusat penggilingan yang harus

memasok persediaan tiga pusat percetakan kertas koran secara mingguan.

Setiap minggu, Penggilingan I dan II, berturut-turut menghasilkan 350 ton dan 550 ton bubur kertas koran. Sebagai bahan baku, Percetakan I, II, dan III berturut-turut memerlukan 275 ton/minggu, 325 ton/minggu, 300 ton/minggu bubur kertas. Ongkos pengiriman (dalam puluh ribu rupiah/ton) adalah sebagai berikut:

Masalah pada perusahaan tersebut adalah menentukan kapasitas bubur kertas koran setiap pengiriman (ton) ke setiap percetakan agar biaya pengiriman minimal.

Alternatif Penyelesaian

Langkah awal kita untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan merumuskan model matematika masalah pengiriman bubur kertas koran perusahaan tersebut.

Coba perhatikan gambar berikut ini.

Coba kamu sebutkan dan rumuskan kondisi yang terdapat pada persoalan pengangkutan di atas!

Sebagai contoh buat kamu untuk memahaminya, perhatikan rumusan berikut ini. a) Penggilingan I mampu menghasilkan 350 ton/minggu merupakan pasokan ke Percetakan I, II, dan III. Misalkan xij : kapasitas pengiriman (ton) setiap minggu dari Penggilingan (i = 1,2) ke Percetakan (j = 1,2,3).

Jadi dapat dituliskan: x11 + x12 + x13 = 350

 Menurut kamu, apa alasan kita menggunakan tanda “=”, bukan tanda ≤ atau ≥?

b) Jumlah bahan bubur kertas koran yang diperlukan Percetakan I sebesar 275 ton/ minggu harus dipasok oleh Penggilingan I dan II. Kondisi ini dituliskan: x11 + x21 = 350

Demikian selanjutnya, sehingga kita dapat menyimpulkan secara lengkap sebagai berikut:

Model matematika pasokan bubur kertas koran dari dua Penggilingan ke

Percetakan I, II, dan III.

Dengan model pengiriman bubur kertas dari dua pusat penggilingan ketiga pusat percetakan menimbulkan biaya pengiriman. Dengan memperhatikan Gambar 1.2,        tentu kamu dapat memahami bahwa, setiap minggu, biaya pengiriman setiap ton bubur kertas dari Penggilingan I ke Percetakan II adalah Rp220.000,00, kondisi ini dituliskan: 220.000x12.

Demikian hal yang sama 170.000 x11 memiliki arti bahwa, setiap minggu, biaya pengiriman setiap ton bubur kertas dari Penggilingan I ke Percetakan II adalah Rp170.000,00. Secara kumulatif total biaya pengiriman perusahaan tersebut, dituliskan sebagai

berikut:

Fungsi Z merupakan fungsi biaya, tentu pihak perusahaan ingin biaya tersebut minimal. Oleh karena itu, untuk kajian program linear, fungsi merupakan fungsi tujuan/sasaran, dituliskan:

Meminimumkan:

 (dalam puluh ribu rupiah).

Fungsi biaya total Z memiliki nilai paling minimal jika ditemukan nilai xij yangmemenuhi semua kondisi batasan pada model permintaan dan suplai bubur bahan kertas koran.

Dari Masalah 1.1, 1.2, dan 1.3, kita belum menyelesaikan masalah secara lengkap.

Khususnya untuk menentukan semua nilai variabel yang memenuhi setiap kondisi.

Hal ini disebabkan, untuk sebagian masalah diperlukan pengetahuan lebih lanjut agar mampu menyelesaikannya; misalnya pada Masalah 1.1 dan 1.3. Sedangkan untuk Masalah 1.2 akan kita kaji pada subbab berikutnya.

Selain itu, dari Masalah 1.1 dan 1.2, khususnya pada rumusan yang terbentuk

pada persamaan (1), (2), (3), (4), (5), (6), dan (7), serta fungsi tujuan yang terbentuk dapat kita simpulkan beberapa ciri model matematika dalam program linear, yaitu:

1) Adanya fungsi tujuan/sasaran dari setiap masalah yang dikaji. Misalnya,

i. Maksimumkan: Z (x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah).

ii. Minimumkan:

2) Kendala atau keterbatasan utama masalah dinyatakan sebagai suatu sistem

pertidaksamaan linear atau sistem persamaan linear.

3) Terdapat juga kendala nonnegatif sebagai syarat dasar nilai setiap variabel

yang akan ditentukan.

Dari tiga ciri di atas, dapat kita simpulkan masalah Program Linear dirumuskan

sebagai berikut:

Namun, dalam kajian bab ini kita akan mengkaji masalah program linear hanya untuk dua variabel. Untuk tiga variabel atau lebih dibutuhkan pengetahuan lanjutan tentang teknik menyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear.

Pembahasan kita selanjutnya, mengkaji grafik setiap kendala yang terbentuk dari masalah program linear.

2. Program Linear dengan Metode Grafik

Kajian masalah program linear dua variabel dapat diselesaikan melalui grafik sistem kendala dari masalah tersebut. Oleh karena itu, langkah awal dalam menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggambarkan sistem pertidaksamaan yang terbentuk pada kendala/keterbatasan masalah program linear. Berikut ini diberikan 1 pertidaksamaan dengan kombinasi syarat variabnya

Dengan pengetahuan tentang cara menggambarkan daerah penyelesaian suatu pertidaksamaan linear pada Kelas X, coba diskusikan bersama temanmu, apa perbedaan kelima pertidaksamaan di atas.

Dalam buku ini, untuk semua grafik persamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear, Daerah Bersih merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan yang dikaji.

Pada gambar a), dapat kita pahami bahwa semua titik yang terletak pada daerah yang tidak diarsir (bersih) memenuhi pertidaksamaan x + y ≥ 5 Hal ini berbeda dengan syarat nilai x dan y pada Gambar 2.3 b). Hanya pada saat x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≥ 5.

Apa yang dapat kamu jelaskan dari gambar b) di atas?

C0NTOH:

Alternatif Penyelesaian

Untuk menggambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan pada sistem di atas, dapat dimulai dengan menggambar satu per satu pertidaksamaan yang tersaji.

Tentu, semua daerah penyelesaian tersebut nanti harus disajikan dalam satu bidang koordinat kartesius.

Dengan cara yang sama, gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan secara terpisah, kemudian gambarkan secara lengkap dalam satu bidang koordinat kartesius.

 Dengan dua daerah penyelesaian yang disajikan di atas, diskusikan bersama teman langkah-langkah untuk menggambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear. Jika kamu mengalami kesulitan, tanyakanlah kepada gurumu.

Uji Kompetensi 1.1

1. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit.Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp

1.500.000,00.

Modelkan permasalahan di atas!

2. Klinik “Dewi” akan membuka cabang baru di daerah padat penduduk. Untuk

itu, pemilik klinik merancang sebuah jadwal jaga perawat yang akan bertugas,

seperti berikut ini.

3. Tentukanlah pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian di

bawah ini.

5. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c.

Untuk menentukan daerah penyelesaian (bersih) pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.

6. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini.

Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah yang memenuhi.

7.  Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama

mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua

mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu

memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet,

Rp1.500,00 dan Rp2.000,00.Modelkan masalah di atas.

8.  Dengan persediaan kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter, seorang

penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bergaris. Model II memerlukan 2 meter kain polos dan 0.5 meter kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung Rp15.000,00 dan model II memperoleh untung Rp10.000,00. (UAN

2004 No. 22) Nyatakan masalah di atas dalam model matematika

9. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan

10.  tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan

20.  tankai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar

dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I

dijual seharga Rp200.000,00, dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 perrangkaian. (UN 2006 No. 21)

Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika.

10.  Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini.Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjualapel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000,00 tiap kilogram dan pisangRp8.000,00, tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00,sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.

Rumuskanlah model matematika masalah di atas.

3. Daerah Bersih dan Garis Selidik

Penggunaan istilah daerah bersih merupakan daerah yang memenuhi suatu pertidaksamaan. Untuk konsistensi pada buku ini, kita menggunakan istilah daerah bersih, artinya semua titik (x, y) yang memenuhi suatu pertidaksamaan linear atau suatu sistem pertidaksamaan linear.

Sekarang, yang menjadi pokok permasalahan pada bagian subbab ini adalah menentukan daerah bersih suatu pertidaksamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear. Mari kita mulai daerah bersih yang terdapat pada Gambar 1.3 b). Untuk setiap

nilai x dan y yang memenuhi x + y ≥ 5 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0, disajikan pada tabel

berikut ini.

 Temukan hubungan titik koordinat dengan daerah bersih yang terdapat pada Gambar 1.3.b! Apa kesimpulan yang dapat ditarik dari hubungan tersebut?

Sekarang, kita uji pemahaman kita menggambarkan daerah bersih yang

dihasilkan masalah berikut ini.

Masalah-1.4

Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 1.5. Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata-rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp500,00 dan Fluon Rp600,00 per kapsul, bagaimana rencana

(program) pembelian seorang pasien flu (artinya berapa kapsul Fluin dan

berapa kapsul Fluon harus dibeli) supaya cukup untuk menyembuhkannya

dan meminimumkan ongkos pembelian total.

Alternatif Penyelesaian

Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini.

Dengan tabel tersebut, dapat kita misalkan:

x : banyak kapsul Fluin yang dibeli.

y : banyak kapsul Fluon yang dibeli.

Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linear

masalah di atas.

 dan meminimumkan Z = 500x + 600y. (b)

Dengan menggunakan uji titik, coba kamu gambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan di atas.

software Autograph merupakan salah satu software yang digunakan unttuk menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

Autograph juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai grafik fungsi,misalnya fungsi kuadrat, dan fungsi logaritma.

Daerah no. V merupakan irisan daerah bersih keenam pertidaksamaan, juga

disebut daerah layak, atau daerah penyelesaian atau daerah optimum.

Dalam buku ini kita sepakati untuk menggunakan istilah daerah penyelesaian. Jika keenam pertidaksamaan di atas, dinyatakan sebagai suatu sistem pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian dapat kita definisikan sebagai berikut:

Definisi 1.2

(Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum)

Daerah fisibel atau Daerah Penyelesaian Masalah Program Linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear.

 Coba diskusikan dengan temanmu, apakah semua kendala suatu masalah program linear memiliki daerah penyelesaian? Jika ya, tunjukkan syaratnya. Jika tidak, berikan contohnya! (Petunjuk: tunjukkan untuk program linear 2 variabel)

Daerah penyelesaian untuk masalah ini merupakan suatu daerah yang tak terbatas (unbounded). Tentu terdapat juga daerah penyelesaian yang terbatas (bounded).

Selanjutnya, akan ditentukan nilai x dan y yang terdapat di daerah penyelesaian yang menjadikan nilai fungsi Z = 500x + 600y minimum. Jadi, kita akan fokus pada nilai fungsi Z di daerah penyelesaian. Perhatikan nilai-nilai fungsi Z pada tabel

berikut ini.

Uji Kompetensi 1.2

1. Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 mesin untuk perluasan

pabriknya. Harga mesin baru Rp15.000.000,00 per unit. Selain itu dapat juga

dibeli mesin bekas dengan umur dua tahun, tiga tahun, dan empat tahun yang

harganya diukur dari harga baru akan susut Rp3.000.000,00 per tahunnya.

Keempat jenis mesin di atas, yaitu baru, umur dua tahun, umur tiga tahun, umur empat tahun mempunyai ukuran yang berbeda-beda, berturut-turut memerlukan

tempat 3 meter persegi, 4 meter persegi, 5 meter persegi, dan 6 meter persegi

per unitnya. Sedangkan ongkos perawatannya berturut-turut 0, Rp1.000.000,00,

Rp2.000.000,00, dan Rp4.000.000,00 per tahunnya. Bila tempat yang tersedia

untuk semua mesin yang dibeli tersebut hanya 35 meter persegi dan ongkosperawatan total yang disediakan hanya Rp7.000.000,00 per tahun, bentuk model matematika masalah program linear perusahaan tersebut.

2. Alkohol dapat dihasilkan dari 3 macam buah-buahan, A, P dan V yang dapat

diolah dengan 2 macam proses, misalnya A1: buah A diolah menurut cara -1,

dan A2 : buah A diolah dengan cara-2, dan seterusnya. Berturut-turut A1, A2, P1,P2, V1, V2 dapat menghasilkan alkohol sebanyak 3%; 2,5%; 3,5%; 4%; 5%; dan4,5% dari buah sebelumnya. Kapasitas mesin adalah 1 ton buah-buahan per hari dan selalu dipenuhi. Pemborong yang memasok buah A hanya mau melayani jika paling sedikit 600 kilogram per hari. Sebaliknya buah P dan V masing-masing hanya dapat diperoleh paling banyak 450 kilogram per hari.

Buatlah model matematika masalah di atas!

3. Untuk melayani konferensi selama 3 hari harus disediakan serbet makanan.

Untuk hari ke-1, -2, -3 berturut-turut diperlukan 50, 80, 70 helai serbet makanan.

Harga beli yang baru Rp 1.200 sehelai, ongkos mencucikan kilat (satu malam selesai) Rp 800 per helai, cucian biasa (satu hari satu malam selesai) Rp 200 per helai. Untuk meminimumkan biaya pengadaan serbet, berapa helai serbet yang harus dibeli, berapa helai serbet bekas hari ke-1 harus dicuci kilat (untuk hari ke-

2) dan berapa helai serbet bekas hari ke-2 harus dicuci kilat (untuk hari ke-3)?

Buatlah model matematika masalah di atas!

4. Sebuah peternakan unggas mempunyai kandang-kandang untuk 600 ekor yang terdiri dari ayam (A), itik (I), dan mentok (M). Kapasitas maksimum kandang

selalu dipenuhi. Pemilik menginginkan banyak itik tidak melebihi 400 ekor,

demikian pula mentok paling banyak 300 ekor. Ongkos pemeliharaan sampai

laku terjual untuk A, I, M berturut-turut 3.500, 2.500, dan 6.000 rupiah per ekor.

Harga jual A, I, M, berturut-turut adalah 7.000, 5.500 dan 10.500 rupiah perekornya. Rumuskan model matematika program beternak yang memaksimumkan keuntungan jika keuntungan adalah selisih harga jual dari ongkos pemeliharaan.

(Dalam masalah di atas dianggap tidak ada ongkos pembelian).

6.  Tentukanlah suatu sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah

penyelesaian penyelesaian berikut ini.

a). berbentuk segitiga sama sisi di kuadran pertama

b). berbentuk trapesium di kuadran kedua

c). berbentuk jajaran genjang di kuadran keempat

8. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg.

Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum,

tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. (UMPTN Tahun 2000 Rayon A).

9. Seorang agen perusahaan alat elektronik rumah tangga menjual kulkas ke suatu pusat perbelanjaan. Pada bulan Juli, 25 unit kulkas terjual. Untuk tiga bulan berikutnya, setiap agen membeli 65 kulkas per bulan dari pabrik, dan mampu menjual hingga 100 unit per bulan dengan rincian harga sebagai berikut:

Agen menyimpan 45 unit kulkas tetapi harus membayar $7/unit/bulan dan akan dijual pada bulan berikutnya. Tentukan nilai optimum pembelian, penjualan dan biaya penyimpanan kulkas tersebut.

10. Perhatikan masalah program linear berikut ini:

a) Tentukan nilai minimum dari 3x + 4y dengan kendala:

x _1; y _ 2; x + y _ 6, dan 2x + 3y _15

b) Tentukan interval nilai Z(x, y) = y – 2x + 2 dengan kendala:

x _ 0; y _ 0; 2x + 5y _10, dan 4x + 3y _12

11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f (x, y) = 2x − y − 4 bernilai

optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai berikut

−1_ x _1;−1_ y _1. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan

periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal).

BAB III

PENUTUP

A.Kesimpulan 

Hasil perhitungan regresi linier berganda tentang pengeluaran konsumsi menunjukan hasil bahwa secara simultan variabel pendapan dapat.jumlah anggota keluarga (tanggungan). Pendidikan, dan proposi berpengaruh signifikan terhadap pengeluaran konsumsi masyarakat. Sedangkan secara parsial hanya variabel pendapatan, jumalah pengaruh secara signifikan dan positif sedangkan variabel promosi tidak signifikan.

B. SARAN

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.

 Semoga dengan makalah ini kami bisa memahami tentang Progam linier.

Di usahakan persamaan yang telah kita tulis di makalah ini dapat di pahami atau di mengerti. 

Kita bisa cari penerapan yang lebih banyak tentang materi Progam linier ini.

Sebaiknya kita melakukan praktikum sederhana agar lebih bisa memahamitentang Progam Linier ini.

RIWAYAT HIDUP PENULIS

Khisbul Jihad Al Haqqoh lahir di bawah asuhan dan pengawasan kedua orang tuanya ; ayahandanya, Abdul Jamil dan ibu Nur Alimah yang pada masa itu terkenal sebagai anak yang cengeng. Pada usia 7 tahun dia lulus dari taman kanak-kanak TKR Al-Ashar. lalu melanjutkan sekolah di MI Salafiyah Al-Ashar Karang Agung telah tamat dari Madrasah Ibtidaiyah dia melanjutkan pendidikannya di SMP Bilingual Darul Jannah Al-ma’wa Tunggul Paciran Lamongan telah tamat dari SMP Bilingual dia kemudian ingin mencari ilmu di beberapa Pondok Pesantren di pulau Jawa. Selain aktif berpuasa. Sejak di SMP, dia juga ingin mengunjungi beberapa Pondok Pesantren di Jawa Timur seperti di Pondok Langitan Widang Tuban, Pondok Pesantren Sidogiri Pasuruan,Pesantren Fathkhul Ulum Kwagean Kediri,Yayasan Pesantren Islam (YAPI) Bangil Pasuruan, Pondok Pesantren Salafiyah Pasuruan, di sana ingin belajar mendalami perkitapan dengan sempurna, di samping membangkitkan semangat dalam mengejar cita-cita yang tinggi dan mulia.