FUNGSI INVERS
MAKALAH MATEMATIKA
Di susun untuk memenui tugas UAS Ganjil mata pelajaran
mata pelajaran Matematika kelas XI
Guru Mata pelajaran:
Subianto
 |
Disusun oleh :
Nama : KHISBUL JIHAD AL HAQQOH
Nomor UAS : 029
SMK DARUL JANNAH AL-MA’WA
TUNGGUL PACIRAN LAMONGAN
2014
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum
Warohmatullahi Wabarokatuh
Segala puji hanyalah milik Allah SWT, Dzad yang telah menjadikan sebab untuk segala perkara, yang mengandung segala
hikmah dan keterangan kepada hamba-Nya. Yang mengutus Muhammad sebagai
rasul-Nya untuk membawa agama yang dan yang haq.
Penulis
menyadari bahwa penulisan dan pembuatan Makalah Fisika tentang Progam Linier.
ini tak lepas dari peran dahsyat orang-orang yang membantu dalam proses
pembuatannya, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Pengasuh Pondok Pesantren Darul Jannah Al-ma’wa Bapak Kyai Hasan Arif
M.Pd.I
2. Kepala Sekola SMK Darul Janna
Al-Ma’wa Bapak Bambang Catur Basuki S.H, S.Pd. M.MPd.
3. Guru Mata Pelajaran Matematika Bapak Subianto
Penulis sadar
bahwa makalah ini masih jauh dari “Kesempurnaan”, sehingga masukan dan
saran sangat penulis harapkan sehingga penulis termotivasi agar dapat lebih
baik lagi dimasa yang akan datang. Sekali lagi penulis ucapkan terima kasih
kepada seluruh pihak-pihak yang mungkin tidak tercantum yang telah banyak
membantu dalam proses penyelesaian Makalah ini.
Sampai di sini,
Semoga Makalah ini dapat bermanfaat dan dipergunakan dengan sebaik-baiknya.
Wassalamualaikum Warohmatullahi
Wabarokatuh
Lamongan 9 Desember 2014
Penulis,
Khisbul Jihad Al Haqqoh
DAFTAR ISI
Halaman Sampul ...................................................................
Kata Pengantar ......................................................................
Daftar Isi ................................................................................
BAB 3
PENDAHULUAN.............................................................
Bab 3 Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
A. Operasi Aljabar Pada Fungsi.............................................
B. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi...........................
C. Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi............................................
8
D. Fungsi Invers......................................................................
E. Menentukan Rumus Fungsi Invers....................................
Uji Kompetensi 3.2
BAB I
PENDAHULUAN
1.
LATAR BELAKANG
Matematika tidak sulit
dipelajari asal tahu cara mempelajarinya. Jadi, yang paling dominant yaitu cara
belajar matematika yang tidak tepat. Banyak guru disekolah masih mengajar
matematika dengan cara lama, yaitu guru aktif mengajar sementara siswa hanya
memindah informasi yang ditulis gurunya ke buku catatannya. Selain itu siswa
disuruh mengerjakan soal-soal latihan tanpa dibekali ketrampilan yang cukup.
Pembelajaran matematika seperti itu jelas membosankan sehingga sehingga pantas
kalau banyak siswa mengeluh tentang sulitnya belajar matematika. Padahal dengan
mempelajari matematika siswa diharapkan mempunyai kemampuan berpikir logis,
kritis, analitis, dan kreatif serta mampu bekerjasama.
Dalam menyelesaikan
masalah siswa perlu mempelajari terlebih dahulu konsep-konsep dasar matematika.
Siswa tidak hanya menerima dan mencatat apa yang disampaikan bapak dan ibu
guru, ttapi siswa akan dibimbing untuk menentukan sendiri konsep-konsep
tersebut melalui berbagai kegiatan. Dari mana asal usul konsep itu, bagaimana
cara membuktikannya, dan bagaimana cara menggunakannya, semua harus dipelajari
dalam matematika.Pembelajaran cooperative terutama teknik jigsaw dianggap cocok
diterapkan diIndonesiakarena sesuai dengan budayaIndonesiayang menjunjung
tinggi nilai gotong-royong.
B. Tujuan
1. Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas UAS
Ganjil mata pelajaran matematika Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers, yang
diberikan oleh Bapak Subianto.
Dan
tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat
dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
2.Sebagai syarat yang harus dipenuhi untuk mendapat Nilai UAS Ganjil mata
pelajaran matematika.
C.Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan makalah ini
yaitu :
1. Dapat dijadikan sebagai
sumber informasi terkait pemahaman mengenai Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers
BAB II
PEMBAHASAN
1. Operasi
Aljabar Pada Fungsi
Pada subbab ini, kita akan mempelajari
operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian pada fungsi). Perhatikan
masalah berikut.
Masalah.
Seorang
photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua
tahap,
yaitu; tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada
tahap
pemotretan (B1) adalah
Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: B1(g) =
500g
+ 2500 dan biaya pada tahap editing (B2) adalah
Rp100,- per gambar,
mengikuti
fungsi: B2(g)
= 100g + 500, dengan g adalah
banyak gambar yang
dihasilkan.
a)
Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar
dengan
kualitas yang bagus?
b)
Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya pada
tahap
editing
untuk 5 gambar.
Alternatif Penyelesaian
Fungsi biaya pemotretan: B1(g)
= 500g + 2.500
Fungsi biaya editing: B2(g)
= 100g + 500
a) Untuk menghasilkan gambar yang
bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu
pemotretan dan editing, sehingga
fungsi biaya yang dihasilkan adalah:
B1(g) + B2(g) = (500g + 2.500) + (100g + 500)
= 600g
+ 3.000
Total biaya untuk menghasilkan 10
gambar (g =
10) adalah:
B1(g) + B2(g) = 600g + 3.000
B1(10)
+ B2(10) = (600 ×
10) + 3.000
= 9.000
Jadi total biaya yang diperlukan untuk
menghasilkan 10 gambar dengan kualitas
yang bagus adalah Rp9.000,-
b) Selisih biaya tahap pemotretan
dengan tahap editing adalah:
B1(g) – B2(g) = (500g + 2.500) – (100g + 500)
= 400g
+ 2.000
Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5
gambar (g = 5) adalah:
B1(g) – B2(g) = 400g + 2.000
B1(5)
– B2(5) = (400 ×
5) + 2.000
= 4.000
Jadi selisih biaya yang diperlukan
untuk menghasilkan 5 gambar dengan kualitas
yang bagus adalah Rp4000,-
Perhatikan jumlah biaya pada bagian (a)
dan selisih biaya pada bagian (b).
B1(g)
= 500g +
2500 sehingga B1(5) = 5.000 dan B1(10)
= 7.500.
B2(g)
= 100g +
500 sehingga B2(5) = 1.000 dan B2(10)
= 1.500
BJ (g)
= B1(g)
+ B2(g)
= 600g +
3000 sehingga BJ (10) = 9.000 dan B1(10)
+ B2(10)
= 7.500 + 1.500 = 9.000
Demikian juga,
BS (g)
= B1(g)
– B2(g)
= 400g +
2000 sehingga BS (5) = 4.000 dan B1(5)
– B2(5)
=
5.000 – 1.000 = 4.000.
2. Menemukan
Konsep Fungsi Komposisi
Setelah kita memahami operasi aljabar
pada fungsi, maka pada subbab ini, kita
akan membicarakan fungsi komposisi dari
suatu fungsi. Untuk mendapatkan
konsep fungsi komposisi, kamu pahami
dan pelajarilah beberapa masalah kasus dan
contoh-contoh berikut.
Masalah
Suatu
bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke
Ringgit
Malaysia (MYR), yaitu; 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran
sebesar
2 USD untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu
bank
di Malaysia menawarkan harga tukar ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah
Indonesia
(IDR), yaitu; 1 MYR = Rp3.169,54, dengan biaya penukaran
sebesar
3 MYR untuk setiap transaksi penukaran.
Seorang
turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian
melanjutkannya
ke Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000 USD.
Berapa
IDR akan diterima turis tersebut jika pertama dia menukarkan semua
uangnya
ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan kemudian menukarnya
ke Rupiah Indonesia di Malaysia?
Alternatif
Penyelesaian
Masalah ini dapat diselesaikan dua tahap
penukaran.
Langkah 1:Uang sebesar 2.000 USD akan
ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan
biaya penukaran sebesar 2 USD, maka
jumlah uang yang diterima turis tersebut
adalah:
(2.000 – 2) ×
3,28 MYR = 1.998 × 3,28 MYR =
6.553,44 MYR
Langkah 2:
Uang sebesar 6.553,44 MYR akan ditukar
ke mata uang Rupiah Indonesia, dan
perlu di ingat bahwa biaya penukaran
sebesar 3 MYR. Uang yang diterima turis
tersebut adalah:
(6.553,44 – 3) ×
3.169,54 = 6.550,44 × 3.169,54 =
20.761.881,60 IDR
Turis tersebut menerima uang rupiah
Indonesia sebesar 20.761.881,60 IDR.
Perhitungan kedua transaksi di atas
dapat kita buat model matematikanya ke
dalam
dua fungsi sebagai berikut.
Misalkan :
t
= jumlah uang dalam USD
x
= jumlah uang dalam MYR
y
= jumlah uang dalam IDR
Transaksi penukaran pertama dapat kita
tuliskan dengan
x
= 3,28 (t –
2)
x
= 3,28 t –
6,56
karena x merupakan sebuah fungsi t, maka dapat ditulis:
x
(t) = 3,28 t –
6,56 …………………………………............................……. (1)
Untuk transaksi penukaran kedua dapat ditulis
sebagai berikut.
y
= 3.169,54 (x –
3)
y
= 3.169,54 x –
9.508,62
karena y fungsi dari x, maka dapat ditulis
y
(x)
= 3.169,54 x –
9.508,62 …………………………...................…………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan 1 ke
persamaan 2 kita peroleh:
y
(x)
= y(x(t)),
misal f (t) = y(x(t)),
maka
f
(t)
= y(x(t))
= 3.169,54 (3,28 t – 6,56) – 9.508,62
= 10.396,09 t – 20792.18 – 9.508,62
f
(t)
= 10.396,09 t –
30.300,80
Fungsi f(t)
= y(x(t))
ini merupakan fungsi komposisi x dan
y dalam
t yang
dilambangkan
dengan (y ◦ x)(t)
dan didefinisikan dengan (y ◦ x)(t) = y(x(t)).
Maka fungsi komposisi x dan y
pada masalah di atas adalah
(y
◦ x) (t)
= 10.396,09 t – 30.300,80 ……………………………..................…….(3) Dengan
menggunakan fungsi komposisi (y ◦ x)(t) seperti pada persamaan 3, maka
dapat kita hitung jumlah uang turis
tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk
t
= 2000 USD seperti berikut.
(y
◦ x)(t)
= 10.396,09 t –
30.300,80
= 10.396,09 ×
(2.000) – 30.300,80
= 20.792.180 – 30.300,80
= 20.761.881,60
Jumlah uang turis tersebut dalam rupiah
adalah Rp20.761.881,60 Perhatikan bahwa
hasilnya sama dengan langkah pertama
yang kita lakukan.
Agar kamu lebih memahami fungsi
komposisi, perhatikanlah masalah berikut.
Masalah
Suatu
pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua
tahap.
Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan
kertas
setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang
menghasilkan
kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah
jadi
dengan mengikuti fungsi f(x) = 0,9x – 1 dan mesin II mengikuti fungsi
g(x) = 0,02x2 – 2,5x, dengan
x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam
satuan
ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar
200 ton, berapakah kertas yang dihasilkan?
(kertas dalam satuan ton).
Dari Gambar 3.1. di atas, terlihat
jelas bahwa tahap produksi kertas terdiri atas dua
tahap. Hasil produksi setiap tahap kita
hitung sebagai berikut
Hasil produksi tahap I
Rumus fungsi pada produksi tahap I
adalah: f(x) = 0,9x – 1
Untuk x
= 200, diperoleh:
f
(x)
= 0,9x –
1
= 0,9(200) – 1
= 179
Maka hasil produksi tahap I adalah 179
ton bahan kertas setengah jadi.
Hasil produksi tahap II
Rumus fungsi pada produksi tahap II
adalah: g(x) = 0,02x2
– 2,5x
Karena hasil produksi pada tahap I akan
dilanjutkan pada produksi tahap II, maka
hasil produksi tahap I menjadi bahan
dasar produksi tahap II, sehingga diperoleh:
g(x) = 0,02x2
– 2,5x
= 0,02(200)2 – 2,5(200)
= 640,82 – 447,5
= 193,32
Dengan demikian hasil produksi tahap II
adalah 193,32 ton bahan jadi kertas.
Hasil produksi yang dihasilkan pabrik
kertas tersebut jika bahan dasar kayunya
sebanyak 200 ton adalah 193,32 ton
bahan jadi kertas.
Masalah 3.3 di atas dapat kita
selesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda
sebagai berikut.
Diketahui fungsi-fungsi
produksi berikut.
f(x) = 0,9x –
1.....................................................................................................(1)
g(x) = 0,02x2
– 2,5x.............................................................................................(2)
dengan mensubstitusikan pers. 1 ke
persamaan 2, kita peroleh fungsi
g(f(x))
= 0,02(0,9x –
1)2 – 2,5(0,9x – 1)
= 0,02(0,81x2
– 1,8x+1)
– 2,5(0,9x –
1)
= 0,0162 x2
– 0,036x +
0,02 – 2,25x +
2,5
= 0,0162 x2
– 2,286x +
2,52
Kita peroleh fungsi g(f(x)) = 0,0162 x2 – 2,286x +
2,52..........................................(3)
Jika disubstitusikan nilai x = 200 ke persamaan 3, kita peroleh:
g (f
(x))
= 0,0162 x2 – 2,286x + 2,52
= 0,0162 (200)2 – 2,286(200) + 2,52
= 648 – 457,2 + 2,52
= 193,32
Terlihat bahwa hasil produksi sebesar
193,32 ton. Nilai ini sama hasilnya dengan
hasil produksi dengan menggunakan
perhitungan cara pertama di atas.
Nilai g(f(x))
merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi f dan g
dalam x
yang dilambangkan dengan g
◦ f. Karena itu nilai g ◦ f di
x ditentukan
dengan
(g
◦ f)(x)
= g(f(x)).
Perhatikan
Gambar
Berdasarkan Gambar 3.2 di atas dapat
dikemukakan beberapa hal berikut.
1) Df =
daerah asal fungsi f;
Rf=
daerah hasil fungsi f;
Dg =
daerah asal fungsi g;
Rg
= daerah hasil fungsi g; Dg ◦ f =
daerah asal fungsi komposisi g ◦ f;
= daerah hasil
fungsi komposisi g ◦ f
2) Fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, ditulis f: A→B.
Setiap unsur x ∈
Df dipetakan
ke y ∈ Rf dengan
fungsi y =
f(x). Perhatikan Gambar
3.2(a).
3) Fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C, ditulis g : B
→ C.
Setiap unsur y ∈
Dg dipetakan
ke z ∈ Rg dengan
fungsi z =
g(y). Perhatikan
Gambar 3.2(b).
4) Fungsi h memetakan himpunan A ke himpunan C melalui himpunan B, ditulis: h:
A→C. Setiap unsur x ∈
Dh dipetakan
ke z ∈ h dengan
fungsi z =
h(x). Perhatikan
Gambar
3.2(c).
Berdasarkan beberapa hal di atas kita
peroleh definisi berikut.
Definisi 3.2
Jika
f dan g fungsi dan R D f g _ __ , maka
terdapat suatu fungsi h dari himpunan
bagian
Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis:
g ◦ f) yang ditentukan dengan
h(x) = (g ◦ f )(x)
= g(f(x))
daerah
asal fungsi komposisi f dan g adalah, Df g x Df f x D = {
_ ( )_
} g
dengan
Df =
daerah asal (domain) fungsi f;
Dg = daerah asal (domain) fungsi g;
Rf =
daerah hasil (range) fungsi f;
Rg = daerah hasil (range) fungsi g.
Pertanyaan kritis!
Untuk
fungsi komposisi f dan g atau g ◦ f.
1)
Apa akibatnya jika R
D g f _ =0
? Mengapa?
2)
Bagaimana hubungan Dg○f dengan Df? Apakah D D g f f Γ ? Mengapa?
3)
Bagaimana hubungan dengan Rg?
Apakah R R g f g ⊆ ? Mengapa?
Untuk
lebih memahami konsep fungsi komposisi, perhatikanlah contoh
berikut.
Contoh 3.2
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= 2x +
1 dan fungsi g:
R→R dengan
g(x) = x2-1.
1) Apakah fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x) terdefinisi?
2) Tentukan fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x)!
Alternatif
Penyelesaian
f(x) = 2x
+ 1; g(x) = x2 -1
Df =
{ x |
x ∈ R}
= R;
Rf =
{ y |
y ∈ R}
= R
Dg = { x
| x ∈ R}
= R;
Rg =
{ y |
y ∈ R}
= R
(1) Untuk menentukan apakah fungsi
komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x)
terdefinisi,
diketahui berdasarkan:
Γ Jika Rf ∈ Dg ≠
Γ maka
(g ◦ f)(x) terdefinisi.
{ y
| y ∈R}
Γ { x
| x ∈ R}
= RΓ R =
R ≠
Γ,
karena Rf Γ Dg ≠
Γ maka
(g ◦ f)(x)
terdefinisi.
Γ Jika Rg ∈ Df ≠
0 maka (f ◦ g)(x) terdefinisi.
{ y
| y ∈ R}
Γ { x
| x ∈ R}
= R Γ R =
R ≠
Γ,
karena Rg Γ Df ≠
Γ maka
(f ◦ g)(x)
terdefinisi.
(2) Untuk menentukan apakah fungsi
komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x)
sebagai
berikut:
* (g
◦ f)(x)
= g(f(x))
= g(2x + 1)
= (2x
+ 1)2
– 1
= (4x2 + 4x
+ 1) – 1
= 4x2 + 4x
* (f
◦ g)(x)
= f(g(x))
= f(x2
–1)
= 2(x2 –1) + 1
= 2x2 – 2 + 1
= 2x2 – 1
sehingga diperoleh (g ◦ f)(x)
= 4x2 + 4x
dan (f ◦ g)(x) = 2x2 – 1.
Perhatikan kembali Contoh 3.2 di atas!
Contoh tersebut diberikan untuk
menentukan fungsi komposisi jika
fungsi-fungsi yang lain telah diketahui. Berikut
ini diberikan contoh bagaimana
menentukan fungsi jika diketahui fungsi komposisi
dan
suatu fungsi yang lain.
3. Sifat-sifat
Operasi Fungsi Komposisi
Lakukanlah pengamatan pada beberapa
contoh soal berikut untuk menentukan
sifat-sifat operasi fungsi komposisi.
Dari pengamatan yang kamu lakukan, tariklah
sebuah kesimpulan terkait sifat operasi
fungsi komposisi.
Contoh 3.4
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= 4x +
3 dan fungsi g:
R→R dengan
g(x) = x–1.
a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x)
b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x)
= (f ◦ g)(x)!
Penyelesaian
a) Menentukan rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x)
* (g
◦ f)(x)
= g(f(x))
= g(4x + 3)
= (4x
+ 3) –1
= 4x
+ 2
* (f
◦ g)(x)
= f(g(x))
= f(x – 1)
= 4(x
– 1) + 3
= 4x
– 4 + 3
= 4x
– 1
Dengan demikian (g ◦ f)(x)
= 4x +
2 dan (f ◦ g)(x) = 4x
– 1.
b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x)
= (f ◦ g)(x)!
Berdasarkan hasil perhitungan butir (a)
di atas diperoleh
(g
◦ f)(x)
= 4x +
2, dan
(f
◦ g)(x)
= 4x –
1
Andaikan (g ◦ f )(x)
= (f ◦ g)(x)
4x
+ 2 = 4x –
1
2 = –1
Ternyata hasil yang diperoleh adalah
kontradiksi dari pernyataan.
Jadi, g
◦ f ≠ f ◦ g
Berdasarkan Contoh 3.4 di atas,
disimpulkan bahwa pada umumnya sifat
komutatif
pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu; g ◦ f ≠ f
◦ g.
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= 2x –
1 dan fungsi g:
R→R dengan g(x)
=
4x+5,
dan fungsi h:
R→R dengan h(x)
= 2x –
3.
a) Tentukanlah fungsi komposisi (g◦(f
◦ h))(x)
dan ((g ◦ f)
◦ h)(x).
b) Tentukanlah fungsi komposisi (f◦(g
◦ h))(x)
dan ((f ◦ g)
◦ h)(x).
c) Selidiki apakah: i) (g ◦ (f
◦ h))(x)
= ((g ◦ f)
◦ h)(x), dan
ii) (f
◦ (g ◦ h))(x) = ((f
◦ g) ◦ h)(x)
Alternatif
Penyelesaian
a) Rumus fungsi komposisi (g◦(f
◦ h))(x)
dan ((g ◦ f)
◦ h)(x)
i) Misalkan k(x)
= (f ◦ h)(x)
k(x) = f
(h(x))
= 2h(x) – 1
= 2(2x
– 3) – 1
= 4x
– 6 – 1
= 4x
– 7
(g
◦ (f ◦ h))(x) = (g
◦ k)(x)
= g(k(x))
= 4(k(x)) + 5
= 4(4x
– 7) + 5
= 16x
– 28 +5
= 16x
– 23
Jadi fungsi komposisi (g ◦ (f
◦ h))(x)
= 16x –
23
ii) Misalkan l(x)
= (g ◦ f)(x)
l(x)= g(f(x))
= 4(f(x)) + 5
= 4(2x
– 1) + 5
= 8x
– 4 + 5
= 8x
+ 1
((g
◦ f) ◦ h)(x) = (l
◦ h)(x)
= l(h(x))
= 8(h(x)) + 1
= 8(2x
– 3) + 1
= 16x
– 24 + 1
= 16x
– 23 Jadi rumus fungsi komposisi ((g ◦ f) h)(x) = 16x
– 23.
b) Rumus fungsi komposisi f ◦(g
◦ h) dan (f ◦ g)
h
i) Misalkan m(x)
= (g ◦ h)(x)
m(x) = g(h(x))
= 4(h(x)) + 5
= 4(2x
– 3) + 5
= 8x
– 12 + 5
= 8x
– 7
(f
◦ (g ◦ h)(x) = (f
◦ m)(x)
= f(m(x))
= 2(m(x)) – 1
= 2(8x
– 7) – 1
= 16x
– 14 – 1
= 16x
– 15
Jadi rumus fungsi komposisi (f ◦ (g
◦ h))(x)
= 16x –
15
ii) Misalkan n(x)
= (f ◦ g)(x)
n(x) = f(g(x))
= 2(4x
+ 5) – 1
= 8x
+ 10 – 1
= 8x
+ 9
((f
◦ g)◦h)(x) = (n
◦ h(x))
= n(h(x))
= 8(h(x)) + 9
= 8(2x
– 3) + 9
= 16x
– 24 + 9
= 16x
– 15
Jadi rumus fungsi komposisi ((f ◦ g) ◦
h))(x)
= 16x –
15
iii) Dari butir (a) dan butir (b),
diperoleh nilai
i) (g
◦ (f ◦ h))(x) = 16x
– 23 dan ((g ◦ f)
◦ h)(x) = 16x
– 23
ii) (f
◦ (g ◦ h))(x) = 16x
– 15 dan ((f ◦ g)
◦ h)(x) = 16x
– 15
Berdasarkan nilai-nilai
ini disimpulkan bahwa
i) (g
◦ (f ◦ h))(x) = ((g
◦ f) ◦ h)(x) = 16x
– 23
ii)
(f ◦ (g ◦ h))(x)
= ((f ◦ g)
◦ h)(x) = 16x
– 15
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= 5x –
7 dan fungsi I:
R→R dengan I(x)
= x.
a) Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I
◦ f.
b) Selidikilah apakah f ◦ I = I
◦ f = f.
Alternatif
Penyelesaian
a) Rumus fungsi komposisi f ◦ I dan I
◦ f
a (f
◦ I)(x)
= f(I(x))
= f(x)
= 5x
– 7
a (I
◦ f)(x)
= I(f(x))
= I(f(x))
= 5x
– 7
a) Berdasarkan hasil-hasil
pada butir (a) di atas disimpulkan bahwa: f
◦ I = I ◦ f =
f
Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6
kita peroleh sifat berikut.
Sifat 3.2
Diketahui
f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika Ri
∩ Df ≠ Γ maka
terdapat
sebuah fungsi identitas yaitu: I (x) = x,
sehingga berlaku sifat identitas,
yaitu;
f ◦ I = I ◦ f = f
Agar kamu lebih memahami sifat 3.2,
selesaikanlah latihan berikut.
Latihan
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= 5x –
7 dan fungsi identitas I:
R→R dengan
I(x)
= x.
Buktikanlah bawah (f ◦ I)
= (I ◦ f)
= f .
Uji Kompetensi.
1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar
kayu memproduksi kertas melalui dua tahap.
Tahap pertama dengan menggunakan mesin
I yang menghasilkan bahan kertas
setengah jadi, dan tahap kedua dengan
menggunakan mesin II yang menghasilkan
bahan kertas. Dalam produksinya mesin I
menghasilkan bahan setengah jadi
dengan mengikuti fungsi f (x)
= 0,7x +
10 dan pada mesin II terdapat bahan
campuran lain sehingga mengikuti fungsi
g (x) = 0,02x2
+ 12x,
x merupakan
banyak bahan dasar kayu dalam satuan
ton.
a) Jika bahan dasar kayu yang tersedia
untuk suatu produksi sebesar 50 ton,
berapakah kertas yang dihasilkan?
(kertas dalam satuan ton).
b) Jika bahan setengah jadi untuk
kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar
110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah
terpakai? Berapa banyak kertas
yang dihasilkan?
4. Fungsi Invers
Berikutnya, kita akan mempelajari
balikan dari fungsi yang disebut dengan fungsi
invers. Dengan demikian, mari kita
memahami masalah berikut.
Masalah-3.4
Seorang
pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap
x potong
kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh
mengikuti
fungsi
f(x)
= 500x + 1.000, (dalam ribuan rupiah) x adalah banyak potong kain
yang
terjual.
a)
Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50
potong
kain, berapa keuntungan yang diperoleh?
b)
Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong
kain
yang harus terjual?
c)
Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan
B merupakan daerah
hasil
(range) fungsi f,
gambarkanlah permasalahan butir (a)
dan butir (b) di
atas.
Alternatif
Penyelesaian
Keuntungan yang diperoleh mengikuti
fungsi f(x) = 500x + 1000, untuk setiap x
potong kain yang terjual.
a) Penjualan 50 potong kain, berarti x = 50 dan nilai keuntungan yang
diperoleh
adalah:
f(x)= 500x
+ 1.000
untuk x
= 50 berarti f(50)
= (500 × 50)
+ 1.000
= 2.500 + 1.000
= 3.600
Jadi keuntungan yang diperoleh dalam
penjualan 50 potong kain sebesar
Rp3.600.000,-
b) Agar keuntungan yang diperoleh
sebesar Rp100.000,-, maka banyak potong kain
yang harus terjual adalah:
f(x) = 500x + 1.000
100.000 = 500x + 1.000
500x
= 100.000 – 1.000
500x
= 99.000
x
= 99 000
500
.
= 198Jadi banyak potong kain yang harus
terjual adalah 198 potong.
Berdasarkan Gambar 3.3 di atas, dikemukakan
beberapa hal sebagai berikut.
(a) Gambar 3.3 (i) menunjukkan bahwa
fungsi f memetakan
A ke
B,
ditulis: f:
A→B.
(b) Gambar 3.3 (ii) menunjukkan bahwa f -1 memetakan B ke A,
ditulis: f -1: B→A.
f
-1 merupakan
invers fungsi f.
(c) Gambar 3.3 (iii) menunjukkan bahwa
untuk nilai x =
50 maka akan dicari nilai
f(x).
(d) Gambar 3.3 (iv) menunjukkan
kebalikan dari Gambar 3.3 (iii) yaitu mencari
nilai x
jika diketahui nilai f(x) = 100.000.
a) Jika invers fungsi f memetakan B ke A,
invers fungsi g memetakan D ke
C,
dan
invers fungsi h memetakan F ke E,
gambarlah ketiga invers fungsi tersebut!
b) Dari ketiga invers fungsi tersebut,
tentukanlah mana yang merupakan fungsi.
Alternatif
Penyelesaian
a)
Gambar ketiga invers fungsi tersebut
ditunjukkan sebagai berikut.
 |
b) Berdasarkan Gambar 3.6, disimpulkan
sebagai berikut.
- Gambar 3.6 (i) merupakan fungsi.
Mengapa?
- Gambar 3.6 (ii) bukan fungsi.
Mengapa?
- Gambar 3.6 (iii) bukan fungsi.
Mengapa?
Berdasarkan alternatif penyelesaian
pada Masalah 3.5 di atas, dapat disimpulkan
bahwa invers suatu fungsi belum tentu
merupakan fungsi tetapi dapat hanya berupa
relasi biasa. Invers fungsi g dan h
bukan suatu fungsi melainkan hanya relasi
biasa.
Invers suatu fungsi yang merupakan
fungsi disebut fungsi invers.
Invers fungsi f
merupakan suatu fungsi invers.
Berdasarkan uraian di atas, ditemukan
sifat berikut.
Sifat 3.3
Suatu
fungsi f : A → B dikatakan
memiliki fungsi invers f -1: B →
A jika dan hanya
jika
fungsi f merupakan fungsi bijektif.
Perhatikan kembali Sifat 3.3 di atas,
pada fungsi bijektif f:
A→B, A
merupakan
daerah asal fungsi f dan B
merupakan daerah hasil fungsi f . Secara umum, definisi
fungsi invers diberikan sebagai
berikut.
Jika
fungsi f: Df→Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang
didefinisikan
sebagai f
-1:
Rf →Df dengan
kata lain f
-1 adalah
fungsi dari Rf ke Df .
Perhatikan kembali Definisi 3.4 di
atas. Fungsi f:
Df →Rf adalah fungsi bijektif, jika
y∈Rf merupakan
peta dari x ∈ Df,
maka hubungan antara y dengan
f(x) didefinisikan
dengan y = f(x). Jika f -1 adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap
x
∈ Rf -1adalah peta dari y ∈ f 1 D
.
Hubungan antara x dengan
f -1(y)
didefinisikan
dengan rumus x = f
-1(y).
5. Menentukan
Rumus Fungsi Invers
Masalah
Salah
satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil
penjualan
tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besar dana yang
diperoleh
bergantung pada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan
tersebut.
Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang
diperoleh
klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x)
= 50.000x
+
20.000,
dengan x
merupakan banyak penonton yang menyaksikan
pertandingan.
a)
Tentukanlah invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola
tersebut.
b)
Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket
penonton
sebesar Rp55.570.000,-. Berapa penonton yang menyaksikan
pertandingan
tersebut?
Alternatif
Penyelesaian
Diketahui bahwa fungsi pendapatan klub
sepak bola tersebut adalah f(x) = 50.000x
+ 20.000
a) Invers fungsi pendapatan dari tiket
penonton klub sepak bola
Untuk menentukan rumus fungsi invers f(x)
dilakukan sebagai berikut.
y
= f(x) = 50.000x + 20.000
y
= 50.000x +
20.000
50.000x
= y - 20.000
x y =
−20 000
50 000
 |
BAB III
Misalkan
f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf
sedangkan
I(x)
= x merupakan fungsi identitas. Fungsi f -1 merupakan
fungsi invers
dari
fungsi f
jika dan hanya jika
(f ◦ f -1)(x)
= x = I (x) untuk setiap x ∈ Df,
dan
(f -1 ◦ f)(x)
= x = I (x) untuk setiap x∈ Rf .
Sifat 3.5 di atas dapat digunakan untuk
mengetahui apakah suatu fungsi merupakan
fungsi invers dari fungsi f atau tidak.
Agar kamu lebih memahami, perhatikan kembali
Contoh 3.10 berikut.
Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x)
= x –
1. Tentukanlah (f-1)-1(x)!
Alternatif
Penyelesaian
Untuk menentukan rumus (f–1)-1(x)
maka langkah pertama yang dilakukan adalah
menentukan f -1(x) sebagai berikut.
Diketahui bahwa f(x)
= x –
1, karena f(x) = y,
maka: y =
x –
1 atau x =
y +
1
Oleh karena x = f
-1 (y),
maka f -1 (y)
= y +
1 sehingga f -1 (x)
= x +
1.
Langkah kedua adalah menentukan fungsi
invers dari f -1 (x),
sebagai berikut.
Misalkan f -1
(x)
= h(x), maka fungsi invers dari h(x)
adalah h -1(x),
yang ditentukan
seperti berikut.
Misalkan h -1
adalah fungsi invers fungsi h. Untuk setiap x ∈ Dh dan y
∈ Rh berlaku
y
= h(x) jika dan hanya jika x = h
-1(y).
Karena h(x)
= x +
1 dan h(x) = y,
kita peroleh hubungan y =
x +
1 atau x =
y –
1.
Karena x = h
-1 (y), maka h -1
(y)
= y –
1 sehingga h -1 (x)
= x –
1.
Karena f -1
(x)
= h(x) dan h
-1 (x)
= x –
1, maka (f -1)-1(x) = x
– 1.
Jadi,(f
-1)-1(x) = x
– 1.
Perhatikan kembali rumus fungsi (f -1)-1(x)
yang kita peroleh dengan rumus fungsi f(x)
yang diketahui, dari kedua nilai ini
kita peroleh bahwa
(f
-1)-1(x) = f(x) = x
– 1
Berdasarkan hasil uraian pada Contoh 3.11
di atas, maka diperoleh sifat fungsi invers
sebagai berikut.
Jika
f sebuah fungsi bijektif dan f -1 merupakan
fungsi invers f, maka fungsi
invers
dari f -1 adalah
fungsi f
itu sendiri, disimbolkan dengan (f -1)-1 =
f
Diketahui fungsi f dan g
adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x)
= 2x +
5
dan g(x) = x
– 2. Tentukanlah
a) (g
◦ f)(x)
dan (f ◦ g)
(x)
b) f
-1 (x)
dan g -1 (x)
c) (g
◦ f) -1 (x)
dan (f ◦ g)-1 (x)
d) (g -1 ◦
f -1) (x)
dan (f -1 ◦
g -1) (x)
e) hubungan antara (g ◦ f) -1 (x)
dengan (f -1 ◦
g -1) (x)
f) hubungan antara (f ◦ g)-1
(x)
dengan (g -1 ◦
f -1) (x)
Uji Kompetensi 3.2
1. Seorang pedagang kain memperoleh
keuntungan dari hasil penjualan setiap
x
potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang
diperoleh mengikuti
fungsi f(x)
= 100x +
500, x merupakan
banyak potong kain yang terjual.
a) Jika dalam suatu hari pedagang
tersebut mampu menjual 100 potong kain,
berapa keuntungan yang diperoleh?
b) Jika keuntungan yang diharapkan
sebesar Rp500.000,00 berapa potong kain
yang harus terjual?
c) Jika A merupakan himpunan daerah asal (domain) fungsi f(x)
dan B merupakan
himpunan daerah hasil (range) fungsi f(x),
gambarkanlah permasalahan butir
(a)
dan butir (b)
di atas.
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Suatu fungsi dapat
diperbanyak. Salah satunya dengan cara membalikkannya(inversnya).
Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu :
1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan π¦ = π(π₯)
untuk π₯
dalam bentuk π¦.
2. Langkah 2 : Gunakan π−1(π¦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam π¦.
3. Langkah 3 : Gantilah π¦ dengan π₯.
Sehingga fungsi tersebut akan
semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi
yang kita punya. Dan untuk mencari
turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema.Dengan adanya teorema turunan fungsi
balikan. Yaitu :
Teorema
Andaikan π terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang πΌ.
Jika π′(π₯) ≠ 0 di suatu π₯ tertentu dalam πΌ. Maka π−1terdiferensiasikan di titik
yang berpadanan π¦ = π π₯ dalam daerah hasil π dan (π−1)′π¦ =1π′(π₯)
itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan
lebih cepat.
Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu
fungsi.
Tetapi
kitajuga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi
tersebut haruskontinu dan fungsi tersebut monoton murni.
B. Saran
Perlu diperhatikan dalam menentukan
turunan dari invers suatu fungsi. Karena disituterdapat syarat fungsi yaitu
harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi
tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian.
Dan disarankan melihat
syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena
kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal
dengan suatu
teorema. Padahal soal itu tidak
memenuhi syarat di teorema tersebut.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
Khisbul
Jihad Al Haqqoh lahir di bawah asuhan dan pengawasan kedua orang tuanya ;
ayahandanya, Abdul Jamil dan ibu Nur Alimah yang pada masa itu terkenal sebagai
anak yang cengeng. Pada usia 7 tahun dia lulus dari taman kanak-kanak TKR
Al-Ashar. lalu melanjutkan sekolah di MI Salafiyah Al-Ashar Karang Agung telah
tamat dari Madrasah Ibtidaiyah dia melanjutkan pendidikannya di SMP Bilingual
Darul Jannah Al-ma’wa Tunggul Paciran Lamongan telah tamat dari SMP Bilingual dia
kemudian ingin mencari ilmu di beberapa Pondok Pesantren di pulau Jawa. Selain aktif berpuasa. Sejak di SMP, dia juga ingin mengunjungi beberapa Pondok Pesantren di
Jawa Timur seperti di Pondok Langitan Widang Tuban, Pondok Pesantren Sidogiri Pasuruan,Pesantren Fathkhul
Ulum Kwagean Kediri,Yayasan Pesantren Islam (YAPI) Bangil Pasuruan,
Pondok Pesantren Salafiyah
Pasuruan, di sana ingin belajar mendalami perkitapan dengan
sempurna, di samping membangkitkan semangat dalam mengejar cita-cita yang
tinggi dan mulia. 
0 komentar:
Posting Komentar